Teorema de Pitágoras
E n un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos (b y c) es igual al cuadrado de la hipotenusa (a): a2=b2+c2 Los números a,b y c que verifican esta relación se llaman ternas pitagóricas o números pitagóricos en alusión al estudio que de ellos hicieron Pitágoras y sus discípulos. Los antecedentes históricos de este teorema se remontan a las civilizaciones babilónica y egipcia en el segundo milenio a.J.C. El papiro Rhind y el de Moscú confirman la existencia de tablas de número pitagóricos en esa época. Tras las inundaciones del Nilo, los agrimensores egipcios construían triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 y de hipotenusa 5, mediante una cuerda de 12 nudos para parcelar el terreno. Euclides demuestra el Teorema de Pitágoras en la proposición 47 del Libro I de los Elementos: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto. En la proposición 48 demuestra que si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto, es decir, el recíproco de la Proposición 47. Las más de 1000 demostraciones existentes en la actualidad confirman que el Teorema de Pitágoras es uno de los resultados que más ha llamado la atención a lo largo de la historia. En Loomis(1968) se encuentran 370 demostraciones diferentes numeradas y clasificadas como: algebraicas, geométricas, vectoriales y otras que utilizan la dinámica. Generalmente, tanto en primaria como en secundaria, al abordar el estudio del Teorema de Pitágoras, se parte del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la solución de triángulos rectángulos. Pero sin duda la construcción y utilización de los puzzles pitagóricos, que sirven para demostrar el teorema en base a su interpretación geométrica, nos proporciona un material que, por su carácter manipulativo, fomenta la motivación del alumno e incide favorablemente en la asimilación de este teorema. Las escenas que vienen a continuación están ordenadas en orden creciente de dificultad. La segunda y tercera demuestran el teorema de Pitágoras por el método de división (o equicomposición). Dos figuras se llaman equicompuestas si, cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede (disponiendo estas partes de otra forma) componer con ellas la otra figura. En las escenas primera y última se utiliza el método de adición. Dos figuras se dice que son equiadicionales si, añadiendo a una y otra las mismas partes, se obtienen dos figuras idénticas. Evidentemente, equicomposición y equiadición implican equivalencia. El recíproco también es cierto (teorema de Bolyai-Herwien). La primera escena (denominada puzzle clásico) se basa en la que, según muchos autores, es la demostración original de los pitagóricos. En el libro de Loomis aparece ésta con el número 91. La segunda escena se basa en la demostración que Meavilla (1989) atribuye a Thabit Ibn Qurra, matemático árabe del s.IX y se caracteriza por ser el puzzle pitagórico de menor número de piezas. Las escenas tercera y cuarta son a su vez demostraciones del teorema de Pitágoras deducidas de las del cateto y vistas ya en ese capítulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS (puzzle clásico)
| OBSERVA Y APRENDE
Elige un triángulo rectángulo de catetos b y c dando los valores deseados a los controles numéricos b y c. Observa cómo está construido el cuadrado grande de lado b+c y cuál es la situación inicial de los cuatro triángulos equiláteros iguales de catetos b y c. ¿Qué superficie dejan sin cubrir?. Pulsa el botón animar. Fíjate cómo se sitúan ahora los triángulos rectángulos en el cuadrado de lado b+c. ¿Qué superficie dejan ahora sin cubrir?. Compara las áreas de ambas y deduce y escribe el teorema de Pitágoras. Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.
PROYECTO DE TRABAJO
Dibuja y recorta ocho triángulos rectángulos iguales de catetos a y b y de hipotenusa a, dos cuadrados de lado b+c, uno de lado a, otro de lado b y otro de lado c (Puedes utilizar la plantilla teoremapitagoraspuzzle). Pega cuatro de los triángulos y el cuadrado de lado a sobre uno de los cuadrados de lado b+c según la posición inicial de la escena. Sobre el otro pega las restantes piezas según la posición final de la escena. Compara las áreas del cuadrado de lado a con las de los cuadrados de lados b y c y deduce y escribe el teorema de Pitágoras. teoremapitagoraspuzzle.zip teoremapitagoraspuzzle.pdf

TEOREMA DE PITÁGORAS (Thabit Ibn Qurra)
| OBSERVA Y APRENDE
Elige un triángulo rectángulo de catetos a y b dando a los controles numéricos a y b los valores deseados. Observa cómo está hecha la partición del cuadrado inicial construido sobre la hipotenusa c y pulsa el botón animar. Fíjate cómo se sitúan las piezas de la partición y los cuadrados de lados a y b. Compara las áreas del cuadrado inicial (de lado c) con las de los cuadrados finales (de lados a y b) y deduce y escribe el teorema de Pitágoras. Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.
PROYECTO DE TRABAJO
Dibuja y recorta un cuadrado de lado a y otro de lado b.
Dibuja un puzzle pitagórico como los de la escena, haz una copia y recorta las piezas que los forman. Con las de uno de ellos compón el cuadrado inicial de lado c y pégalas y con las del otro compón la figura base de los cuadrados "pequeños" de lado b y c y pégalas. Haz una copia del contorno de esta figura base y pega sobre ella los cuadrados de lados a y b. Alternativamente puedes utilizar la plantilla teoremapitagorasthabit. Compara las áreas del cuadrado inicial (de lado c) con las de los cuadrados finales (de lados a y b) y deduce y escribe el teorema de Pitágoras. teoremapitagorasthabit.zip teoremapitagorasthabit.pdf

TEOREMA DE PITÁGORAS (teorema del cateto 1)
| OBSERVA Y APRENDE
Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c). Elige un triángulo rectángulo. Observa cómo están hechas las particiones de los cuadrados AEDC y ABFG de lados b y c y pulsa el botón animar. Fíjate cómo las mismas piezas de dichas particiones teselan "recubren" ahora, respectivamente, el rectángulo NCHM de lados p y a y el rectángulo NMIB de lados q y a. Compara las áreas de los dos cuadrados con las de los dos rectángulos (que forman a su vez un cuadrado de lado a) y deduce y escribe la fórmula y el enunciado del teorema de Pitágoras. Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.
PROYECTO DE TRABAJO
Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa a, los cuadrados AEDC y ABFG sobre los lados b y c, un rectángulo NCHM de lados p y a y otro NMIB de lados q y a. Aparte dibuja y recorta otro cuadrado A'E'D'C' de lado b y otro A´B´F´G´ de lado c. (Puedes utilizar la plantilla teoremapitagorascateto1). Dibuja la partición de AEDC y la de ABFG que has aprendido en la escena y reprodúcelas en los cuadrados A'E'D'C' y A´B´F´G´. Recorta las piezas que las forman y tesela con ellas los rectángulos NCHM y NMIB y pégalas. Escribe la relación entre las áreas de los cuadrados AEDC y ABFG y las de los rectángulos NCHM y NMIB (que forman a su vez el cuadrado BCHI de lado a). Deduce y escribe la fórmula y el enunciado del teorema de Pitágoras. teoremapitagorascateto1.zip teoremapitagorascateto1.pdf

TEOREMA DE PITÁGORAS (teorema del cateto 2)
| OBSERVA Y APRENDE
Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c). Elige un triángulo rectángulo. Observa que en el cuadrilátero NPDC los triángulos APE (rojo) y ACN (rosa) están colocados de manera que adicionan al cuadrado AEDC de lado b y, en el cuadrilátero NBFP, los triángulos AGP (magenta) y ANB (verde) adicionan al cuadrado ABFG de lado c. Pulsa el botón animar. Fíjate cómo los mismos triángulos, con respecto a sus cuadriláteros de referencia, adicionan ahora respectivamente al rectángulo NMHC de lados p y a y al rectángulo NBIM de lados q y a (p y q son las proyecciones de b y c sobre a) . Compara las áreas de los cuadrados AEDC y ABFG con la de los rectángulos NMHC y NBIM (que forman el cuadrado BIHC de lado a) y deduce y escribe la fórmula y el enunciado del teorema de Pitágoras. Repite el apartado anterior hasta que comprendas el proceso.
PROYECTO DE TRABAJO
Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa, los cuadrados AEDC y ABFG sobre los catetos b y c y los rectángulos NMHC de lados p y a y NBIM de lados q y a. Prolonga los segmentos AN por A, ED por E y FG por G hasta cortarse en P y resalta los cuadriláteros NPDC y NBFP. Duplica la figura resultante. Dibuja por duplicado y recorta los triángulos APE, ACN, AGP y ANB. (Puedes utilizar la plantilla teoremapitagorascateto2). Pega los triángulos convenientemente en cada uno de los cuadriláteros NPDC y NBFP para reproducir las posiciones inicial y final de la escena. Escribe la relación entre las áreas de los cuadrados AEDC y ABFG y la de los rectángulos NMHC y NBIM (que forman el cuadrado BIHC de lado a. Deduce y escribe la fórmula y el enunciado del teorema de Pitágoras. teoremapitagorascateto2.zip teoremapitagorascateto2.pdf
©Javier de la Escosura Caballero 200 2